Как дифференцировать и интегрировать

Post annum MMVII
После "Трилогии"




Как дифференцировать и интегрировать

Как дифференцировать и интегрировать (для гуманитариев)

Стальных машин, где дышит интеграл!..
А. Блок

Идея написания настоящего текста принадлежит не мне - Мише Щукину, студенту пятого курса физфака МГУ, прожженному математику и методологу точных наук, астроному по специальности. Это он, избрав меня "подопытным материалом", с моим во все времена глобальным непониманием дифференциального исчисления, хочет объяснять людям гуманитарного склада мышления основы математического анализа. Самую суть - чтобы было понятно то, что во все времена много лет (и даже пару раз изучая материал на первом курсе технических вузов) не понимал я сам. К авторству текста, впрочем, отношения Миша иметь не хочет, искренне полагая, что материал я излагаю на "упрощенно-бытовом, невысоком уровне строгости". Да, соглашусь, здесь как-то и не поспоришь, но замечу, что текст изначально создается не для математиков (они всё знают это и так), но для человека, прежде не соприкасавшегося с серьезными математическими категориями (а объяснять непонятное через непонятное - стратегия далеко не самая продуктивная). Некоторая подготовка читателя, впрочем, предполагаться всё же должна: так, текст я рекомендую всем, кто уже успел прослушать начало лекций по матанализу и даже брал интегралы, но что стоит за этой "механикой", уложить отчетливо в сознании не может.

1. Что такое производная

Итак, для начала, что такое функция. "Взаимно-однозначное соответствие" - где каждому элементу X приходится лишь один элемент Y, в то время как на каждый Y может приходиться сколь угодно много X. Яркий пример - синусоида: взглянул - и дальше уже не ошибешься. Так вот, коль скоро мы исследуем функцию, обращаясь к производной, дело мы имеем с описанием неравномерно протекающего процесса [удачная формулировка была заимствована на по ссылке]. Неважно что меняется - крутизна ли наклона графика функции или же скорость автомобиля. Оно и логично: автомобиль разгоняется - и мы наблюдаем изменение скорости (больше известное как ускорение), мгновенная скорость в каждой точке разгона всегда отлична от скорости в иных точках участка графика, и ее изменение представлено изменением угла наклона касательной к графику функции. Но изменение угла наклона касательной - это тоже функция, континуум ее элементов соотнесен с континуумом элементов функции изначальной, и если график скорости (пройденного за единицу времени пути) представлен, к примеру, параболой, то ускорению будет соответствовать прямая линия. Формула выводится через нахождение предела и вывод ее несложен (см. рисунок к тексту), материал наверняка можно отыскать в самом начале учебников по матанализу или конспектах студентов. Открываем таблицу производных - и видим: производная икс в квадрате равна двум икс. "Скорость изменения параболы линейна!" - воскликнул я Мише, когда, наконец, просёк, что он пытается до меня донести. И Миша согласился: да, это действительно так.

2. Что происходит при интегрировании

Пусть необходимо найти площадь под графиком некоторой заданной функции. Задачи такие нередко встречаются на практике. Когда, к примеру, тело движется неравномерно, известна его скорость в любой момент времени, нужно рассчитать пройденный телом путь. По оси Х на графике отложено время, по оси Y - скорость, площадью под графиком окажется произведение двух этих величин. При равноускоренном движении, когда график скорости - прямая, нахождение пройденного пути труда не составит, - но этого же самого нельзя сказать о движении неравноускоренном, когда у тела меняется не только скорость, но и ускорение. Тогда-то, вычисляя площадь нетривиальной геометрической фигуры, мы и прибегаем к интегрированию, подразумевая, что (право, круты Ньютон и Лейбниц, вот истинно снимаю шляпу!) площадь под графиком производной численно равна разности значений первообразной - то есть, той функции, взяв производную которой, мы получим функцию, данную в условии задачи. На первый взгляд мистика, но мистики, на самом деле, нет, потому что производная сама по себе, изначально такова, что отражает изменение первообразной: дочерняя функция словно высказывается о неком качестве своего родителя. Обратимся к равноускоренному, наиболее простому случаю неравномерного движения, когда первообразная - парабола, ее производная - прямая. В данном случае неважно, что случай предельно прост: для ясности понимания нам важно не нагромождать мыслительный путь избыточными когнитивными конструктами. Математикам, занимающимся педагогической деятельностью, памятуя свой несветлый опыт соприкосновения с матанализом в юности, пообщавшись с Мишей о предмете настоящего текста ныне, я вообще рекомендовал бы излагать материал на максимально конкретном уровне, - сколь ни кощунственным могло бы казаться это им по отношению к математической науке. Потому что абстракция, посредством которой математики мыслят свой предмет - это их наработанный годами опыт соприкосновения с математическими объектами, какого у неискушенного студента попросту нет. Ничего удивительного в том, что на выходе порой они получают непонимание. Однако вернемся к матанализу. Возьмем произвольный момент времени на графике первообразной. По оси Y ему будет соответствовать определенное значение пройденного телом пути, а моментальная скорость окажется тангенсом угла наклона к графику первообразной. Но это же самое значение скорости в данный момент времени будет принимать и функция производной (еще бы, как она может его не принять, если она отстроена от этого тангенса)! И далее мы видим, что оба графика - и производной, и первообразной - полностью корреспондируют друг с другом. Одно и то же время, одна и та же скорость - очевидно, что и пройденный путь также окажется одним и тем же. Именно на основании данного тождества мы и делаем переход, когда (вот что может быть проще!) для нахождения пройденного телом пути мы не высчитываем площадь криволинейной трапеции, а разность значений временного интервала подставляем в формулу первообразной. Всё, задача решена! Знать о существовании первообразной, вообще говоря, из условия задачи мы не должны, формула ее не очевидна, но мы прибегаем к ней, потому что таблицами производных человечество пользуется уже не одну сотню лет, они рассчитаны, причем рассчитаны для куда более серьезных, нежели рассмотренный в тексте, случаев, где и интегрировать, по большому счету, не надо - всё считается и так.

2016, февраль