Парадокс колеса
О настоящем парадоксе рассказал Чусов А.В. на одной из лекций весной 2003-го года. Длина дуги окружности равна произведению диаметра на число π: истину эту проходят, наверное, классе в пятом, и с тех пор мало кто сомневается в правильности усвоенной формулы. Однако существует парадокс, способный поставить под сомнение весь школьный курс геометрии.
Представьте обод малого радиуса R2 с надетой на него шиной большого радиуса R1: всё вместе это колесо. Если намазать шину краской и покатить по полу, то за один полный оборот колеса длина выкрашенной линии составит удвоенное произведение радиуса R1 на число π. Очевидно, это и будет путь, проделанный нижней точкой шины. При этом нижняя точка обода за один полный оборот колеса, казалось бы, должна пройти путь равный 2πR2 - но и она, вопреки ожиданиям, также пройдет путь равный 2πR1. Парадокс был известен еще древним грекам, ныне он протрактован в рамках дифференциального исчисления, однако читатель согласится, что парадоксальный факт должен быть объяснен и с позиций здравого смысла.
И далее, если читателю интересно разобраться с противоречием самому, пусть он отложит текст в сторону и подумает над проблемой сам, если же нет - пусть "не отвлекаясь на глупости" читает далее - до конца.
Если, изменив систему отсчета, пытаться показать, что за один полный оборот колеса нижняя точка обода опишет некую траекторию с петлей (и в таком виде противоречия нет), то ответом на поставленный вопрос это не будет: длина "развертки" малой окружности всё равно окажется равной 2πR2, в то время как пройденный точкой обода путь будет равен 2πR1 - и избавляться следует именно от этого противоречия.
А снимается парадокс очень просто. Задача эта не геометрическая, а механическая, и поставлена не просто для двух центрированных окружностей, а для колеса - т.е. окружностей, жестко связанных между собой. Любая не лежащая на внешней окружности точка одну часть своего пути "раскручивает радиус", другую - "едет на колесе"; при этом чем ближе точка к центру, тем меньше она "работает сама". И существует одна единственная точка, весь путь проделывающая "сидя" - это центр окружности. Пожалуй, первым, кто разобрался с парадоксом (и лишь не в теоретической, но в практической плоскости) был человек, догадавшийся посадить на ось то, что впоследствии сделалось колесом.
2003